Nubert Lautsprecher, HiFi- und Surround-Elektronik

..inspiriert durch die "Rätselecke" eröffne ich einfach mal die "Matheecke".

Hoffentlich kann mir da jemand weiter helfen

Problem1:
Konvergenz der Reihe: Summe( 1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) n>=0

Problem2:
Bestimmung der stationären Punkte der Funktion: f(x,y)= e*x*y - 1/2 * e^((x^2)+(y^2))

Ich hab die Lösung mit ein bischen Hilfe hinbekommen.

Hier die Lösung von Problem 1:

Die Konvergenz der Reihe lässt sich nach dem Grenzwertkriterium herleiten. Da die Folge 1/n^2 konvergent ist folgt:

(1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) / ( 1 / n^2)

<=> n / (wurzel ((n^2) - 1))
<=> n / n * wurzel ((1 - 1/n^2))
<=> 1 / wurzel (1 - 1/n^2)

Da man beim Grenzwertkriterium den lim n->unendli. betrachtet folgt daraus 1 / 1 = 1
Nach dem Grenzwertkriterium haben die beiden Reihen das gleiche Konvergenzverhalten wenn gilt:

0 < lim an/bn < +unendl. -> 0 < 1 < +unendl.

-> Die Reihe ist konvergent.

und hier die Lösung für Problem 2:

Notwendige Bedingung für einen stationären Punkt ist, dass alle partiellen Ableitungen = 0 sind.
Somit gilt:

df / dx = ey - 1/2 * (e^((x^2)+(y^2)) * 2x) und
df / dy = ex - 1/2 * (e^((x^2)+(y^2)) * 2y)

Da beide Ableitungen 0 sein müssen gilt:

ey - (e^((x^2)+(y^2)) * x) = 0 und
ex - (e^((x^2)+(y^2)) * y) = 0

Division der 1. Gleichung durch x und Division der 2. Gleichung durch y:


ey/x - (e^((x^2)+(y^2))) = 0 und
ex/y - (e^((x^2)+(y^2))) = 0

Subtraktion:

ey/x - ex/y = 0
<=> ey^2/xy - ex^2/xy = 0
<=> e * (y^2 - x^2) = 0
<=> y^2 = x^2
=> y = x und y = - X

Die eingesetzt ergibt: (0,0) , (wurzel(2) / 2), wurzel(2) / 2)), (-wurzel(2) / 2), -wurzel(2) / 2))


Falls jemand Fehler findet bitte posten. Ich hoffe aber, dass das so richtig ist.

Selbstgespräche he?

Das erinnert mich so an mein Fachabi..... Und im Sommer geht die Schule wohl wieder los.....