Hoffentlich kann mir da jemand weiter helfen
Problem1:
Konvergenz der Reihe: Summe( 1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) n>=0
Problem2:
Bestimmung der stationären Punkte der Funktion: f(x,y)= e*x*y - 1/2 * e^((x^2)+(y^2))
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Mathematische Problemchen...
Mathematische Problemchen...
..inspiriert durch die "Rätselecke" eröffne ich einfach mal die "Matheecke".
Hoffentlich kann mir da jemand weiter helfen
Problem1:
Konvergenz der Reihe: Summe( 1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) n>=0
Problem2:
Bestimmung der stationären Punkte der Funktion: f(x,y)= e*x*y - 1/2 * e^((x^2)+(y^2))
Hoffentlich kann mir da jemand weiter helfen
Problem1:
Konvergenz der Reihe: Summe( 1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) n>=0
Problem2:
Bestimmung der stationären Punkte der Funktion: f(x,y)= e*x*y - 1/2 * e^((x^2)+(y^2))
Ich hab die Lösung mit ein bischen Hilfe hinbekommen.
Hier die Lösung von Problem 1:
Die Konvergenz der Reihe lässt sich nach dem Grenzwertkriterium herleiten. Da die Folge 1/n^2 konvergent ist folgt:
(1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) / ( 1 / n^2)
<=> n / (wurzel ((n^2) - 1))
<=> n / n * wurzel ((1 - 1/n^2))
<=> 1 / wurzel (1 - 1/n^2)
Da man beim Grenzwertkriterium den lim n->unendli. betrachtet folgt daraus 1 / 1 = 1
Nach dem Grenzwertkriterium haben die beiden Reihen das gleiche Konvergenzverhalten wenn gilt:
0 < lim an/bn < +unendl. -> 0 < 1 < +unendl.
-> Die Reihe ist konvergent.
Hier die Lösung von Problem 1:
Die Konvergenz der Reihe lässt sich nach dem Grenzwertkriterium herleiten. Da die Folge 1/n^2 konvergent ist folgt:
(1 / (n * wurzel ((n^2)-1))) / ( 1 / n^2)
<=> n / (wurzel ((n^2) - 1))
<=> n / n * wurzel ((1 - 1/n^2))
<=> 1 / wurzel (1 - 1/n^2)
Da man beim Grenzwertkriterium den lim n->unendli. betrachtet folgt daraus 1 / 1 = 1
Nach dem Grenzwertkriterium haben die beiden Reihen das gleiche Konvergenzverhalten wenn gilt:
0 < lim an/bn < +unendl. -> 0 < 1 < +unendl.
-> Die Reihe ist konvergent.
und hier die Lösung für Problem 2:
Notwendige Bedingung für einen stationären Punkt ist, dass alle partiellen Ableitungen = 0 sind.
Somit gilt:
df / dx = ey - 1/2 * (e^((x^2)+(y^2)) * 2x) und
df / dy = ex - 1/2 * (e^((x^2)+(y^2)) * 2y)
Da beide Ableitungen 0 sein müssen gilt:
ey - (e^((x^2)+(y^2)) * x) = 0 und
ex - (e^((x^2)+(y^2)) * y) = 0
Division der 1. Gleichung durch x und Division der 2. Gleichung durch y:
ey/x - (e^((x^2)+(y^2))) = 0 und
ex/y - (e^((x^2)+(y^2))) = 0
Subtraktion:
ey/x - ex/y = 0
<=> ey^2/xy - ex^2/xy = 0
<=> e * (y^2 - x^2) = 0
<=> y^2 = x^2
=> y = x und y = - X
Die eingesetzt ergibt: (0,0) , (wurzel(2) / 2), wurzel(2) / 2)), (-wurzel(2) / 2), -wurzel(2) / 2))
Falls jemand Fehler findet bitte posten. Ich hoffe aber, dass das so richtig ist.
Notwendige Bedingung für einen stationären Punkt ist, dass alle partiellen Ableitungen = 0 sind.
Somit gilt:
df / dx = ey - 1/2 * (e^((x^2)+(y^2)) * 2x) und
df / dy = ex - 1/2 * (e^((x^2)+(y^2)) * 2y)
Da beide Ableitungen 0 sein müssen gilt:
ey - (e^((x^2)+(y^2)) * x) = 0 und
ex - (e^((x^2)+(y^2)) * y) = 0
Division der 1. Gleichung durch x und Division der 2. Gleichung durch y:
ey/x - (e^((x^2)+(y^2))) = 0 und
ex/y - (e^((x^2)+(y^2))) = 0
Subtraktion:
ey/x - ex/y = 0
<=> ey^2/xy - ex^2/xy = 0
<=> e * (y^2 - x^2) = 0
<=> y^2 = x^2
=> y = x und y = - X
Die eingesetzt ergibt: (0,0) , (wurzel(2) / 2), wurzel(2) / 2)), (-wurzel(2) / 2), -wurzel(2) / 2))
Falls jemand Fehler findet bitte posten. Ich hoffe aber, dass das so richtig ist.
