Nach der Mathematik gibt es keine Bewegung!

[Koala]

Sorry, aber die Mathematik bleibt logisch, deine Denkweise jedoch "menschlich".

Ui, der war aber schön formuliert...

greetings, Keita

[++Stefan++]

Wieso ich habe die mathematik doch richtig angewand, dann wurde aus einer Bewegung, keine Zeit und keine Positionsänderung.

[BlueDanube]

Dazu fällt mir die Geschichte von Achilles und der Schildkröte ein:

Achilles ist 100x so schnell wie die Schildkröte.
Bei einem Wettrennen gibt er der Schildkröte 100m Vorsprung.
Während er diese 100m läuft, läuft sie 1m.
Während er diesen 1m läuft, läuft sie 1cm.
Während er diesen 1cm läuft, läuft sie 0,1mm.
Während er......

Er kann sie also nie einholen!

[Philipp]

Puh, eine ähnliche Aufgabe haben wir letztes Jahr von unserem Prof gekriegt:
Eine Schnecke sitzt am Anfang eines 100m langen Gummibandes und kriecht einen Meter vorwärts. Dann kommt jemand und dehnt das Band (mit der Schnecke drauf) um weitere 100m aus. Die Schnecke kriecht einen Meter weiter, dann kommt wieder jemand und dehnt das Band um 100m. (Natürlich sind beide unsterblich und das Band unendlich dehnbar)
Erreicht die Schnecke jemals das Ende?

Klingt gar nicht so schwer, hat uns aber einige Zeit beschäftigt, bis wir die Lösung hatten!

Wer zuviel Zeit hat, kanns ja mal versuchen. (Und natürlich sagen, wie viele Jahre die Schnecke braucht!)

[ono]

Puh, eine ähnliche Aufgabe haben wir letztes Jahr von unserem Prof gekriegt:
Eine Schnecke sitzt am Anfang eines 100m langen Gummibandes und kriecht einen Meter vorwärts. Dann kommt jemand und dehnt das Band (mit der Schnecke drauf) um weitere 100m aus. Die Schnecke kriecht einen Meter weiter, dann kommt wieder jemand und dehnt das Band um 100m. (Natürlich sind beide unsterblich und das Band unendlich dehnbar)
Erreicht die Schnecke jemals das Ende?

Klingt gar nicht so schwer, hat uns aber einige Zeit beschäftigt, bis wir die Lösung hatten!

Wer zuviel Zeit hat, kanns ja mal versuchen. (Und natürlich sagen, wie viele Jahre die Schnecke braucht!)

Die Schnecke kommt an! Aber ohne die Zeiteinheit, in der die Schnecke den Meter zurücklegt, kann man nicht sagen, wann!

[Philipp]

Wie bist du draufgekommen? Aufgabe gekannt oder gerade gelöst? Ich hab damals wesentlich länger gebraucht. (Oder sagen wirs mal so: Die Lösung hatte ich schnell durch nachdenken, aber für den mathematisch korrekten Beweis hab ich ewig gebraucht). Naja, da war ich ja auch noch ein kleiner Ersti, heute bin ich ein gereifter Drittsemester.

EDIT: Sorry Zeiteinheit hab ich wohl vergessen... am ersten Tag kriecht die Schnecke, in der darauf folgenden Nacht wird das Band gedehnt. Am nächsten Tag kriecht die Schnecke wieder und so weiter. Kommt aber ja eigentlich auch nicht drauf an, nur auf die Frage OB ÜBERHAUPT.

[gereon]

wie immer: wenn man die lösung sieht, ist alles ganz logisch.
leider kann ich jetzt nicht mehr sagen wie lang ich gebraucht hätte.
aber wie soll man diese aufgabe denn überhaupt "mathematisch" lösen, bzw einen beweis herbeiführen??
würd mich echt interessieren. (fang ja bald mit bwl an *zitter*)

[ono]

Hatte zumindest vor 20 Jahren Mathe-LK. Aber der Ansatz ist lediglich logisches Denken. Für das mathematisch korrekte Ergebnis ist es mir jetzt aber ein paar Gläser Wein zu spät. Das Band wird ja nicht immer um das doppelte gedehnt sondern immer um 100m. Wenn das Band nun auf 10.000 m gedehnt ist beginnt die Schnecke sich statt rückwärts vorwärts zu bewegen. Dann ist es eben nur noch eine Frage der Zeit, bis sie die inzwischen ca. 9.900 m zurückgelegt hat. Allerdings am Anfang cm für cm.

[Philipp]

@ onoschierz: Du machsts dir da aber ein Stück zu einfach! Woher willst du wissen, dass die Schnecke ab 10000 Metern "vorwärts" kriecht?


Ihr habts ja so gewollt:

Sei d(k) die zurückgelegte Strecke der Schnecke am k-ten Abend, und l(k) die Länge des Bandes am k-ten Abend.

Dann gilt: d(k) = d(k-1) * l(k)/l(k-1) + 1 und l(k) = k * 100

--> d(k)/l(k) = d(k-1)/l(k-1) + 1/100k

Frage: Gibt es ein m für das gilt: d(m)/l(m)>=1 ???

durch ein bisschen Rumwurschteln und einen kleinen Induktionsbeweis kommt man dann auf:

d(k)/l(k) = 1/100 * [S(i=0 bis k) 1/i] {S steht für Summe}

Die (harmonische) Reihe [S(i=0 bis unendlich) 1/i] divergiert, also gibts für jede beliebige Zahl x auch eine Summe S(k) mit S(k)>x. Also gibts auch ein S(k)>100.

Damit hätten wir bewiesen: Es gibt ein m, für das gilt: d(m)/l(m) >= 1

q.e.d.




(Leider gibts keine Möglichkeit, Brüche oder Summen hier halbwegs anschaulich darzustellen...)

EDIT: Ich bezweifle, dass das mit Schulmathematik machbar ist. Zumindest hatten wir bei uns im Mathe-LK keine Folgen und Reihen, und das ist schonmal essentiell für diese Aufgabe.

[ono]

Hast recht, Wein macht vieles leichter, aber bringt einen der Lösung meist nicht näher! Dennoch läßt die Schnecke bei jeder Vorwärtsbewegung einen Teil der Strecke hinter sich, auf den dann ein Teil der Dehnung abfällt. Irgendwann liegt dann so viel Anteil der Dehnung hinter der Schnecke, daß sie vorwärts kommt. Aber ich muß zugeben, es wird deutlich später sein, als von mir zunächst angenommen. Hätte ich versucht eine Formel (Annäherung) herzuleiten, wäre ich vielleicht noch auf den Trichter gekommen.