Die Mathe-Aufgabe, hier mal ganz praktisch.

[nisiboy]

durch das Mathe-Thema von gestern bin ich an eine Aufgabe erinnert worden, die ich noch immer nicht zu meiner Zufriedenheit
lösen konnte / oder gelöst bekommen habe, obwohl es mir seit Jahren durch den Kopf geistert. Vielleicht kann mir einer von den
netten Nubianern helfen?
Stellt Euch folgende Situation vor: Du sitzt am Ufer eines wunderschönen Strandes. Dein Blick wandert über den Horizont, Du
denkst an die glücklichen Stunden der ersten Liebe zurück. Das Leben ist schön, Dein Blick bewegt sich weiter über den Strand,
als Du eine schockähnliche Wahrnehmung hast: Stechender Durst, denn Deine Augen haben vor einer Millionstel Sekunde erspäht,
dass die Strandbar aufgemacht hat. Noch voller innerer Ruhe stellst Du Dir folgende Frage, bevor Du dich auf den Weg machst:
Wie komme ich am schnellsten zum Bier?
Bedene: Der Sand ist höllisch heiß, und nervt sowieso, weil es sich darauf nur kräfteraubend und langsam vorankommen läßt,...
Parallel zum Strand geht ein befestigter Weg, auf dem es sich vortrefflich laufen ließe. Wie kommt Ihr am schnellsten zur Bar,
bzw. welchen Punkt auf dem Weg müsstet Ihr ansteuern, um am schnellsten zum Bier zu kommen.
Nehmen wir an:
1. die erzielbare Geschwindigkeit auf Sand beträgt 3 km/h
2. die erzielbare Geschwindigkeit auf dem Weg beträgt 6 km/h
3. Der Strand hat eine Fläche von 100 x 300 m. wobei die längere Strecke der Weg ist und Du Dich diagonal von der Strandbar
befindest.

Experimentell bin ich dem Ergebnis schon irgendwie ziemlich nahe gekommen, aber am liebsten hätte ich eine Formel, die dann
sogar für verschiedene Parameter anwendbar ist.

Habe ich die Frage verständlich formuliert? Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das toll. Und ich geb gern ein Weizen aus,
wenn mir eines Tages jemand am Strand auf die Schulter klopft und sagt: Hattest Du nicht mal die Frage, wie man ...

Danke

Nisiboy

[Philipp]

Die Gesamtzeit ist ja T(Sand) + T(Weg).
T(Weg) ist aber von T(Sand) abhängig - je länger du auf dem Sand gehst, desto kürzer ist dann dein Stück auf dem Weg.
Diesen Zusammenhang musst du in eine Formel packen, dann kriegst du letztlich eine Formel für die Gesamtzeit. Die musst du
nur noch nach der Zeit ableiten und nach Nullstellen suchen - voila!

(Hab grad keine Zeit das ausführlich zu betrachten, ich lern' ja eigentlich grad Chemie für's Vordiplom am Mittwoch)

[Koala]

So, mal n bischen rumgemalt...


Wie Philipp schrieb, beträgt die Gesamtzeit aus der Summe der Zeiten für die beiden Teilstrecken, deren Längen vonaneinander
abhängen (x1 und z). Um eine Relation dieser beiden Strecken zu erhalten, würde ich auf das Hilfsdreieck x2-y-z zurückgreifen,
denn auf diese Weise kannst Du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus x2 und y die Länge von z ermitteln. Der Rest ist dann
übliches Rumgerechne...

greetings, Keita

[Forrest|Gump]

Ich habe das Bild nochmal ein wenig meinem Geschmack angepasst

Um die Gesamtstrecke (y) zu berechnen brauchst du nun folgende Gleichung:

y = x + 2*z (Auf dem Sand bist du nur halb so schnell, daher wird die strecke 2 mal gezählt)

y = x + 2*((300-x)² + 100²)^(1/2) (^(1/2) steht für "Wurzel aus")

y = x + 2*(x² - 600*x + 100000)^(1/2)

Um den schnellsten Weg zu finden, musst du nun die Extrempunkte der Funktion bestimmen. Der X-Wert des Minimums im
Definitionsbereich (0;300) ist der Wert, den du für X einsetzten musst, um die kürzeste Strecke zu erhalten.




mfg Klaus

PS: Am schnellsten bist du, wenn du 242,26m auf dem Weg und 115,47m auf dem Sand läufst.

Ich hoffe, das stimmt so alles

[nisiboy]

Sorry, wenn ich dem ein oder anderen umsonst Arbeit gemacht habe. Ich hätte vielleicht doch schreiben sollen, wieweit ich schon
gekommen war. Das mit dem Hilfsdreick kommt dem schon ziemlich nah, aber der Haken kommt -zumindest für mich- erst danach.
Ok die Lösung ist: die minimale Summe der beiden Zeiten, die man braucht, um die Strecken z und x1 zu bewältigen.
Diese beiden Zeiten jeweils in eine Formel zu bringen, das würde ich wohl noch hinkriegen, aber genau dann fängt das Problem
für mich an, denn ich weiß nicht, wie ich dann von der Formel für die Summe der beiden Zeiten auf die Strecken x1 und x2 komme.
Vielleicht kann es ein Mathematik-Kundiger aus dem Ärmel schütteln?

Wenn ich mal die Bezeichnungen von Koala (vielen Dank) übernehme, dann gibt es außer den dort angegebenen Strecken noch
die beiden Geschwindigkeiten G1 = Geschwindigkeit auf den Weg und G2 = Geschwindigkeit auf Sand.

T1 = x1 : G1
T2 = Z : G2 => T2 = (?x2 · y) : G2

gesucht wird der Minimalwert von T = T1 + T2 und daraud resultierend die Längen von x1 und x2.
Gegeben sind nur:
y
x (wobei x = x1 + x2)
G1 + G2

Und nun? Weiter weiß ich nicht.

Vielleicht jemand anderes?

Danke,

Nisiboy

[Forrest|Gump]

Vielleicht jemand anderes?

Ich verweise mal auf 2 Posts nach oben

mfg Klaus

[nisiboy]

Ich habe für meine präzisere Frage wohl länger gebraucht als Du, Forrest Gump, für die Lösung. Vielen Dank erstmal. Da werde
ich mich mal in Ruhe hinsetzen, mich auf den nächsten Strandurlaub freuen und die Formeln verdauen.


Nisiboy

[Forrest|Gump]

War nicht böse gemeint

Habe auch etwas für die Lösung gebraucht, vorallem das Diagramm, aber war mal eine gute Wiederholung für den Stoff vom letzten Jahr

mfg Klaus

[nisiboy]

Hi Klaus,

hab ich auch überhaupt nicht so empfunden. Mir war es im Nachhinein eher unangenehm, die Frage so offen gestellt zu haben.

Und mich ärgert es, dass ich es nicht so einfach hingekriegt habe. Vielleicht liegt es daran, dass es schon > 20 Jahre her ist.

MfG

Nisiboy

[Philipp]

Allerdings muss ich dann mal fragen, was dich 20 Jahre nach der Schule dazu bringt, über solches Zeug nachzudenken? Normalerweise ist Mathe ja nicht unbedingt jedermanns liebste Freizeitbeschäftigung...